Теория групп — наука о совершенстве. Теория групп Основатель теории групп сканворд 5 букв

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП

Курс лекций

Красноярск, 2007

Сенашов, В. И.

Основы теории групп: курс лекций / , . – Красноярск: ФГОУ ВПО “Сибирский федеральный университет, Институт естественных и гуманитарных наук”, 20с.

Дисциплина "Основы теории групп" является продолжением дисциплины "Высшая алгебра" и представляет собой одну из основных специальных дисциплин при подготовке студентов по специальности «Математика». Курс лекций предназначен студентам и аспирантам, специализирующимся на кафедре алгебры и математической логики.

гуманитарных наук, 2007.

РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ………………………………….. 5

Тема 1. ВВЕДЕНИЕ …………………………………………… 5

Исторические сведения о появлении и развитии теории групп.

Цели и задачи изучения. Краткая характеристика современного

состояния теории групп. Обзор литературы. Общие сведения.

Тема 2. Группы, подгруппы …………………………………… 7

Определение группы, примеры. Определение подгруппы,

примеры подгрупп.

РАЗДЕЛ 2. КЛАССЫ ГРУПП, ВИДЫ ЗАДАНИЯ ГРУПП ………. 9

Тема 3 . Классы групп, примеры ……………………………... 9

Конечные и бесконечные группы, периодические группы,

группы без кручения, смешанные группы, примеры.

Тема 4. Порождающие множества. Циклические группы, подгруппы циклической группы …………………………………. 11

Задание групп порождающими множествами. Примеры циклических, 2-порожденных и 3-порожденных групп.

РАЗДЕЛ 3. СТРУКТУРА ГРУППЫ ………………………………... 12

Тема 5. С межные классы ……………………………………….. 12

Свойства смежных классов. Индекс подгруппы, теорема Лагран-

жа, следствия.

Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и централизатор ………………………………………………………… 13

Определение и свойства классов сопряженных элементов, при-

меры. Определение централизатора, нормализатора, теорема о мощности классов сопряженных элементов.

Тема 7. Центр, коммутант. Фактор-группа …………………… 14

Определения центра, коммутанта. Примеры.

Тема 8 . Полные группы ………………………………………… 16

Полные группы, примеры. Теоремы о полных группах.

РАЗДЕЛ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП ………………………………. 17

Тема 9. Группы подстановок ………………………………….

Определения и свойства групп подстановок. Теорема Кэли.

Тема 10. Гомоморфизмы ………………………………………... 18

Определение гомоморфизма, примеры гомоморфных отображе-

ний, теоремы о гомоморфизмах.

Тема 11. Изоморфизмы ………………………………………… 20

Определение изоморфизма, примеры изоморфных групп.

Тема 12. Автоморфизмы ………………………………………. 21

Определение автоморфизма. Виды автоморфизмов, голоморф.

РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП …………………………… 24

Тема 13. Прямые и декартовые произведения ……………… 24

Определения. Примеры групп, разложимых в прямые и

декартовы произведения.

Тема 14. Полупрямое произведение, свободное

произведение и другие виды произведений …………………. 27

Полупрямое произведение, свободное произведение, свободное произведение с объединенной подгруппой, равномерное произведение.

Тема 15. Ряды в группах ……………………………………….. 31

Нормальный ряд, субнормальный ряд. Виды групп, обладающих рядами.

Тема 16. Теорема Силова …………………………………….. 32

Силовские подгруппы. Теорема Силова. Применения теоремы Силова.

Тема 17. Алгебраические системы …………………………… 33

Примеры алгебраических систем. Группоид, полугруппа, квазигруппа, лупа, группа, кольцо, поле.

РАЗДЕЛ 6. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ …………… 35

Тема 18. Группы с условиями минимальности и

максимальности …………………………………………………. 35

Группы с условиями минимальности и максимальности. Черни-ковские группы и их свойства.

Тема 19. Условия конечности ………………………………… 38

Условия бипримитивной конечности, сопряжено бипримитивной

конечности, их ослабления и обобщения. Группы Шункова. При-меры.

РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП ……………………………………. 40

Тема 20. Группы диэдра ………………………………………. 40

Определения и свойства групп диэдра.

Тема 21. Группы подстановок и матриц …………………… 43

Группы подстановок и матриц. Представление группы диэдра

группой подстановок.

Тема 22. Группы движений ………………………………….. 48

Геометрические преобразования. Движения. Симметрии фигур.

Группы симметрий правильных многогранников. Конечные и бес - конечные группы симметрий пространственных и плоских фигур.

РАЗДЕЛ 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………... 54

Тема 23. Атласы групп ………………………………………… 5 4

Таблицы групп. Атласы конечных простых групп и представле-

ний конечных групп.

Тема 24. Заключение ………………………………………….. 5 6

Обзор современного состояния теории групп.

Дополнение ……………………………………………………………. 57

Тема 25. Группы Фробениуса ……………………………….. 57

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ……………………………… 62

РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Тема 1. ВВЕДЕНИЕ

Исторические сведения о появлении и развитии теории групп. Понятие группы возникло в 18 в., оно исходит из нескольких дисциплин: теории решения алгебраических уравнений в радикалах (в трудах Ж. Лагранжа и А. Вандермонда в 1771 г. впервые для нужд этой теории были применены подстановки и было получено разложение группы подстановок на смежные классы, в 19 в. глубокие связи между свойствами группы подстановок и свойствами уравнений были указаны Н. Абелем в 1824 г. и Э. Галуа в 1830 г. Особенно нужно отметить достижения Э. Галуа в теории групп. Он открыл роль нормальных подгрупп в решении задачи о разрешимости уравнений в радикалах, установил простоту знакопеременных групп степени выше четырех. К. Жордан систематизировал и развил исследования в этом направлении в трактате о группе подстановок в 1870 г.). В проективной геометрии независимо от этого группы возникают, когда изучается поведение фигур при различных преобразованиях, что перешло на изучение самих преобразований и поиск их классификации (здесь можно назвать имена А. Мебиуса, исследовавшего элементарные виды родства геометрических фигур, А. Кэли, пришедшего к пониманию группы как системы, заданной порождающими элементами и соотношениями, Ф. Клейна – создателя в 1872 г. «Эрлангенской программы», положившей в основу классификации геометрий понятие группы преобразований). Теоретико-групповые идеи прослеживаются и в теории чисел. Л. Эйлер в 1761 г. при изучении «вычетов, остающихся при делении степеней» пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, т. е. на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в 1801 г. в «Арифметических исследованиях» определил подгруппы группы Галуа уравнения деления круга и при изучении «композиции двоичных квадратичных форм» доказал, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву группу.

В конце 19 в. выработалось современное абстрактное понятие группы. В 1895 г. С. Ли уже определял группу как совокупность преобразований, замкнутую относительно операции, которая ассоциативна и гарантирует единицу и обратные элементы.

Изучение групп без предположения их конечности и без предположений о природе элементов оформилось в самостоятельную область математики в 1916 г. в книге «Абстрактная теория групп» нашего соотечественника.

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные приложения как в самой математике, так и за ее пределами - в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания.

В данном курсе лекций коротко напомним основные определения и теоремы теории групп, которые входят в курс алгебры университета. Затем введем слушателя в область современной теории групп через изложение результатов последних десятилетий. Особенно подробно остановимся на примерах групп и группах с условиями конечности.

Цели и задачи изучения. Дисциплина «Основы теории групп» является продолжением курса «Высшая алгебра» и представляет собой одну из основных специальных дисциплин при подготовке студентов по специальности «Математика».

Целью преподавания дисциплины является ознакомление с основными определениями и базовыми теоремами теории групп, а также формирование умений и навыков применения изученных теорем в доказательствах новых теорем и для построения примеров групп.

В процессе изучения дисциплины необходимо приобрести знания, умения и навыки для профессиональной деятельности в качестве исследователя и преподавателя по специальности «Математика».

Специалист должен знать: основные классы групп, классические примеры конечных и бесконечных групп, базовые теоремы теории групп; уметь: применять изученные теоремы в доказательствах новых теорем, использовать специальную литературу, справочники, математические энциклопедии, приобрести практические навыки самостоятельной работы при изучении групповых конструкций, иметь представление о современных тенденциях развития теории групп в России и в мире.

При написании курса лекций авторы ставили целью кратко познакомить читателя с понятиями и теоремами классического курса теории групп и по возможности подробно остановиться на понятиях, которые сформированы в Красноярской школе по теории групп и активно изучаются в настоящее время как у нас в стране, так и за рубежом.

Краткая характеристика современного состояния теории групп. В настоящее время теория групп представляет собой хорошо развитую область математики. Каждый год проходят международные конференции, посвященные теории конечных и бесконечных групп. Только в России в 2007 г. прошло несколько международных конференций по теории групп, одна из них – в Красноярске.

Хорошо развитые школы, занимающиеся теорией групп, имеются в Москве, Санкт-Петербурге, Екатеринбурге, Новосибирске, Омске, Томске, Иркутске, Челябинске, Красноярске и других городах России. Сотни специалистов высшей квалификации занимаются различными разделами теории групп. В России регулярно выходят журналы «Алгебра и логика», «Сибирский математический журнал», «Фундаментальная и прикладная математика», «Дискретная математика», «Доклады академии наук», в которых большую долю занимают статьи по теории групп. Российскими учеными написаны десятки монографий по конечным и бесконечным группам. Достижения российских специалистов по теории групп давно и заслуженно признаны во всем мире.

Обзор литературы. При изучении дисциплины «Основы теории групп» рекомендуем пользоваться учебниками и предлагаемым списком литературы.

Тема 2. Группы, подгруппы

Определение группы, примеры.

Определение. Говорят, что на множестве задана бинарная операция , если определен закон, ставящий в соответствие любым двум элементам множества единственный элемент этого же множества.

Определение. Множество G с заданной на нём бинарной алгебраической операцией называется группой , если:

1) эта операция ассоциативна, т. е. (ab)c = a(bc) для любых элементов a, b, c из G ;

2) в G существует единичный элемент e : ae = ea = a для любого элемента a из G ;

3) для каждого элемента a из G в G существует обратный элемент https://pandia.ru/text/78/123/images/image002_125.gif" width="99" height="21 src=">.

Все четные числа по сложению образуют группу. Группой по сложению является также совокупность целых чисел, кратных данному числу n . Множество нечетных чисел уже не будет группой по операции сложения, т. к. данная операция выводит нас за пределы данного множества. Образуют группу также все ненулевые положительные рациональные числа относительно операции умножения. Числа 1 и -1 при операции умножения составляют конечную группу.

Определение. Группа G называется абелевой или коммутативной , если все элементы группы перестановочны между собой, т. е. выполняется коммутативный закон ab = ba для любых элементов a, b из группы G.

Примерами абелевых групп могут служить множества рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел, рассматриваемых относительно операции сложения. К неабелевым группам относятся группы подстановок больше чем на двух элементах, группы матриц относительно умножения.

Определение. Порядком элемента называется наименьшее натуральное число n такое, что an = e . Обозначается |a |.

Определение. Порядком группы G называется количество ее элементов.

Обозначается порядок группы G через |G |. В случае, если множество элементов бесконечно, говорят, что G имеет бесконечный порядок, и пишут |G | = https://pandia.ru/text/78/123/images/image004_81.gif" width="95" height="29"> | ai M, mi = 1, n = 1, 2, 3, … }.

Доказательство. Обозначим множество элементов, введенных в формулировку теоремы, через H .

Очевидно, HH H , H -1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image007_53.gif" width="16" height="16 src=">H .

С другой стороны, <M > https://pandia.ru/text/78/123/images/image010_47.gif" width="13" height="13 src="> H }. Элемент x называется представителем смежного класса. Правый смежный класс определяется аналогично.

Свойства смежных классов:

1) смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают;

2) смежные классы равномощны;

3) элементы a , b содержатся в одном смежном классе по подгруппе H , если b -1 a H .

Доказательство свойств предоставляется читателю.

Определение. Количество смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом группы G по подгруппе H и обозначается |G: H |.

Лемма Неймана. Пусть G – группа, являющаяся объединением конечного числа смежных классов по конечному множеству подгрупп. Тогда хотя бы одна из этих подгрупп имеет конечный индекс в G.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна и каждая из подгрупп H 1 ,…, Hn имеет бесконечный индекс в G . Пусть имеется разложение на смежные классы, указанное в формулировке теоремы:

G = g 11H 1 .gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="16 height=20" height="20"> g 21H 2 … H 2 …

….gif" width="16" height="20">… .gif" width="16" height="20">… H 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" width="36" height="28 src=">H 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" width="36" height="28 src=">H 1 g 21H 2 … .gif" width="16 height=20" height="20">….gif" width="16" height="20">… https://pandia.ru/text/78/123/images/image018_24.gif" width="20 height=19" height="19">.

Очевидно, множество является объединением конечного числа смежных классов по подгруппам H 2, …, Hn и содержит g 11H 1, аналогично

g 11H 1 .gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="19" height="17">.gif" width="24" height="16">gh , h hg , h https://pandia.ru/text/78/123/images/image024_20.gif" width="15" height="15 src=">G ), если левые и правые смежные классы в G по H совпадают.

Другие свойства смежных классов см. в .

Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и централизатор

Определение и свойства классов сопряженных элементов, примеры. Элемент a сопряжен с элементом b в группе G , если найдется такой x из G, что = b .

Кроме того, обозначение = ax переносится на множества: AB = {ab | a A , b B }. В этих обозначениях определение нормальной подгруппы выглядит следующим образом: H G тогда и только тогда, когда HGH .

Теорема 6.1. Порядки сопряженных элементов равны.

Доказательство. Пусть = b. Предположим, что |a | = n , |b | = m и n < m . Тогда ()n = an = e , но bne . Полученное противоречие доказывает теорему.

Сопряжение – отношение эквивалентности. (То есть для сопряжения выполняются три свойства: рефлексивность, симметричность и транзитивность.) Вся группа разбивается на непересекающиеся классы сопряженных элементов aG . Во всех числовых системах и абелевых группах классы сопряженных элементов состоят из одного элемента. Вообще, различные классы могут иметь разные мощности. Инструментом измерения мощности класса служит нормализатор.

Примерами групп, в которых каждый класс сопряженных элементов состоит из одного элемента, являются все абелевы группы. В группе подстановок третьей степени три класса сопряженных элементов: класс, состоящий из единичного элемента, класс, состоящий из двух элементов третьего порядка, и класс, состоящий из трех сопряженных инволюций.

Определение централизатора, нормализатора, теорема о мощности классов сопряженных элементов.

Определение. Пусть M - произвольное подмножество группы G , H - ее подгруппа. Нормализатором множества M в группе G называется множество NH (M ) = { h | hM = Mh , h H }.

Определение. Централизатором множества M в группе G называется множество CG(M)= { g|gm=mg, m M }.

В абелевых группах централизатор любого элемента совпадает со всей группой. В группе подстановок третьей степени централизаторы всех элементов совпадают с циклическими группами, порожденными этими элементами.

Теорема 6.2. Если M - подмножество, а H - подгруппа группы G , то мощность класса подмножеств, сопряженных с M элементами из H равна индексу |H : NH (M ) |. В частности, |aG | = |G : NG (a ) |.

Доказательство. Отобразим Mx , xH , на правые смежные классы H по N = NH (M ): (Mx )= Nx . Отображение однозначно: из Mx = M н вытекает Nx = Ny . Оно взаимнооднозначно т. к. Nx = Ny влечет Mx = M н . Это отображение «на», т. к. у любого класса Nx есть прообраз Mx . Теорема доказана.

Тема 7. Центр, коммутант. Фактор-группа

Определения центра, коммутанта. Примеры. Строение группы во многом определяется перестановочностью ее элементов. Множество элементов группы, которые перестановочны со всеми ее элементами является подгруппой.

Определение. Центром группы G называется множество Z(G)=CG(G) .

Упражнение. Группа G абелева тогда и только тогда, когда Z(G)= G.

Определение. Элементы a , b группы G перестановочны (коммутируют), когда

a -1 b -1 ab = e .

Абелевы группы совпадают со своим центром. В группе подстановок третьей степени центр является единичным.

Определение. Коммутатором [a , b ] элементов a , b называется произведение

[a , b ] = a -1 b -1 ab .

Определение. Подгруппа, порожденная всеми коммутаторами, называется коммутантом группы.

Коммутант - инструмент, измеряющий отклонение группы от коммутативности.

Определение. Если L , M - подмножества группы, то их взаимным коммутантом называют подгруппу

[L , M ] = < [a , b ] | a L , b M >.

Примеры.

1. [ Sn , Sn ] = An , для любого n .

2. [ An, An ] = An, n > 4 .

3. [G , G ] = 1, если G абелева.

Упражнения.

1. Доказать [a , b ]-1= [b , a ].

2. Доказать [ab , c ] = [a , c ]b[b , c ].

Настоящий текст появился по нескольким причинам. Во-первых, подавляющее большинство не представляет, чем занимается современная математика. Теория групп - это, конечно, далеко не вся современная математика, а лишь малая ее часть, но она находится на одном из самых высоких уровней абстракции, что делает ее неплохим примером раздела современной математики.

Во-вторых, такой естественный и простой (для объяснения) объект, как группы, практически незнаком большинству ученых. Действительно, что может быть естественнее и привычнее для человека, чем понятие симметрии. Мы с самого рождения вольно или невольно ищем в окружающих предметах симметрию, и чем симметричнее предмет, тем совершеннее он нам кажется. Древние греки считали шар идеальной фигурой, именно из-за того, что у шара очень много симметрий. Взгляните на любую известную картину, и вы увидите там явную ось (а иногда и не одну) симметрии. Любое музыкальное произведение развивается по циклу, постоянно возвращаясь к исходной теме, т. е. и там тоже есть симметрия. Даже такой, всем известный символ, как крест, почитаемый во многих религиях, кажется нам красивым из-за большого количества симметрий: его можно и крутить, и отражать относительно любой из его частей. Но превратите крест в свастику, и у вас сразу возникнет неуютное ощущение, ведь большую часть симметрий креста вы уничтожили. Таким образом, именно симметрия определяет, насколько совершенным кажется нам тот или иной объект, и теория групп, как наука, изучающая симметрии, может без преувеличения называться наукой о совершенстве.

И в-третьих, я вдохновлен примером таких замечательных ученых и популяризаторов науки, как Сергей Попов и Игорь Иванов, научно-популярные статьи которых я с интересом читаю.

Поскольку текст изначально задумывался доступным для читателя, знающего математику в объеме школьной программы, некоторые специальные части текста (на самом деле, подавляющая его часть), содержащие более трудный для понимания материал, чем обычно дается в школьном курсе алгебры, будут начинаться знаком и заканчиваться знаком (это не означает, что для понимания такого текста требуется что-то большее, чем школьная математика, трудности будут возникать логического характера). Дело в том, что теория групп находится на одном из самых высоких уровней абстракции в современной математике и потому группы иногда состоят из элементов, которые весьма сложно представить неискушенному читателю.

Все книги можно скачать бесплатно и без регистрации.

Эллиот, Добер. Симметрия в физике. В 2-х томах. 1983 год. 364+414 стр. djvu. в одном архиве 7.4 Мб.
Двухтомная монография (английских физиков) о принципах симметрии в физике. В т. 1 кратко изложена теория групп и теория представлений групп, лежащая в основе теории симметрий, и рассмотрены приложения этой теории к анализу структуры атомов и кристаллических решеток, а также к описанию симметрийных свойств ядер и элементарных частиц. В т. 2 рассматриваются электронная структура молекул, свойства симметрии пространства и времени, группы перестановок и унитарные группы, свойства частиц во внешних полях.
Для широкого круга физиков и математиков - научных работников, аспирантов и студентов.
Книга написана физиком и для физиков. Это не голая абстракция для математиков, а рассмотрено много физических систем. Рекомендую.

Скачать

NEW О.В. Богопольский. Введение в теорию групп. 2002 год. 148 стр. djvu. 732 Кб.
Целью книги является быстрое и глубокое введение в теорию групп. В первой части излагаются основы теории, строится спорадическая группа Матье, объясняется ее связь с теорией кодирования и системами Штейнера. Во второй части рассматривается теория Басса - Серра групп, действующих на деревьях. Особенность книги - геометрический подход к теории конечных и бесконечных групп. Имеется большое количество примеров, упражнений и рисунков.
Для научных работников, аспирантов и студентов университетов.
Данное введение довольно сложно и требует хороших знаний алгебры.

. . . . . . . . . . . . Скачать

Л.К. Аминов. Теория симметрии. Конспекты лекций и задачи. 2002 год. 192 стр. djvu.
Настоящее пособие составлено на основе курса лекций "Дополнительные главы математики", которые в течение многих лет читались автором для студентов, специализирующихся по теоретической физике, курса по выбору "Теория симметрии" для студентов третьекурсников и курса "Дополнительные главы математики с приложениями" для магистрантов физического факультета. Содержание лекций в основном представлено в форме краткого конспекта; более подробно изложены темы, по которым выполняются лабораторные задания. Задачи по каждому разделу решаются студентами на практических занятиях и самостоятельно. В целом данное пособие предназначено помочь студентам во внеаудиторной работе с рекомендованной литературой.

. . . . . . . . . . . . Скачать

В.А.Артамонов, Ю.Л.Словохотов. Группы и их приложения в физике, химии, кристаллографии. 2005 год. 512 стр. djvu. 5.4 Mб.
Систематически изложена теория групп, рассмотрены ее физико-химические приложения. Представлены основные групповые конструкции, теория конечно порожденных абелевых и кристаллографических групп, основы теории представлений конечных групп, линейные группы и их алгебры Ли. Кратко рассмотрены квазикристаллы, ренормгруппа, алгебры Хопфа и топологические группы. Обсуждаются соотношения симметрии в механике, молекулярной спектроскопии, физике твердого тела, а также в теории атомов, ядер и элементарных частиц.
Для студентов естественно-научных специальностей высших учебных заведений. Гриф УМО по классическому университетскому образованию. Может быть полезен аспирантам и научным работникам.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. 2001 год. 190 стр. PDF. 1.4 Мб.
Из этой книги читатель узнает, как решать алгебраические уравнения 3-й и 4-й степени с одним неизвестным и почему для решения уравнений более высокой степени не существует общих формул (в радикалах). При этом он познакомится с двумя очень важными разделами современной математики - теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Одна из основных целей данной книги - дать возможность читателю попробовать свои силы в математике. Для этого почти весь материал представлен в виде определений, примеров и большого числа задач, снабженных указаниями и решениями.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся серьезной математикой (начиная со школьников старших классов), и не предполагает у читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Книга может служить также пособием для работы математичекского кружка. В последнем сомневаюсь. Теперь таких школьников нет. Но книга полезная.