Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Множества. Операции над множествами
«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» основатель теории множеств – Георг Кантор (1845-1918) - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19- 20 вв.
Примеры множеств из окружающего мира Например, множество дней недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье. Множество месяцев – из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.
Примерами множеств в математике могут служить: а) множество всех натуральных чисел N , б) множество всех целых чисел Z (положительных, отрицательных и нуля), в) множество всех рациональных чисел Q , г) множество всех действительных чисел R Множество арифметических действий - из элементов: сложение, вычитание, умножение, деление.
Примерами множеств в геометрии могут служить: а) множество видов треугольников, б) множество многоугольников
Пересечением двух множеств А и В называется множество С = А В, которое состоит из всех элементов х, лежащих одновременно в множестве А и в множестве В. А В = {х}, где х А и х В М = а с
А ЗАДАЧА 1 ЗАДАЧА 2
Объединением двух множеств А и В называется множество А В, которое состоит из всех элементов, принадлежащих А или В. С = А В= {х}, где х А или х В. А – девочки класса, В – мальчики класса, С – весь класс
Подмножество Пустое множество Равные множества А = В
А={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} № 1 Какое множество задано путем перечисления данных элементов? № 2 Задайте множество крокодилов, летящих в небе. Даны множества А = {3, 5, 0, 11, 12, 19}, В = {2, 4, 8, 12, 18,0}. Найдите множества AU В, А В № 3 В={А,Е,И,О,У,Э,Ю,Я}
Решение В четвёртом пенале должны лежать предметы, которые уже встречаются в первых трех пеналах, но только по одному разу. Это синяя ручка, оранжевый карандаш и красный ластик. Ответ Синяя ручка, оранжевый карандаш, красный ластик. Задача В первом пенале лежат лиловая ручка, зелёный карандаш и красный ластик; во втором - синяя ручка, зелёный карандаш и жёлтый ластик; в третьем - лиловая ручка, оранжевый карандаш и жёлтый ластик. Содержимое этих пеналов характеризуется такой закономерностью: в каждых двух из них ровно одна пара предметов совпадает и по цвету, и по назначению. Что должно лежать в четвёртом пенале, чтобы эта закономерность сохранилась? Подсказка Подумайте, может ли в четвёртом пенале лежать лиловая ручка.
№ 5 Изобразите с помощью кругов Эйлера пересечение множеств K и L , если: а) K L б) L K в) K = L г) K L = К K = L L K L K
Решение: Обозначим через x число людей, являющихся математиками и философами одновременно. Тогда число математиков равно 7 x , а число философов - 9 x . Если x 0, то философов больше. А что значит, что x = 0? Это значит, что ни тех, ни других нет вообще, то есть их ""поровну"". Это правильный ответ, формально удовлетворяющий условию задачи. И те, кто его указал, вдвойне молодцы! Хотя решение засчитывалось и тем, кто разобрал только случай, когда математики всё-таки есть. Ответ: Если есть хотя бы один философ или математик, то философов больше. Задача Среди математиков каждый седьмой - философ, а среди философов каждый девятый - математик. Кого больше: философов или математиков? Подсказка Рассмотрите людей, являющихся математиками и философами одновременно.
I . Понятие множества.
Теория множеств появилась на свет 7 декабря 1873 года. Основатель этой теории немецкий математик и философ Георг Кантор (1845–1918). Его заинтересовал вопрос, каких чисел больше – натуральных или действительных? В одном из писем адресованных к своему приятелю Рихарду Дедекинду, Кантор писал, что ему удалось доказать посредством множеств, что действительных чисел больше, чем натуральных. День, которым было датировано это письмо, математики считают днем рождения теории множеств.
Что же все-таки представляют собой множества? “Множество есть многое, мыслимое как единое” (Г. Кантор). Понятие множества настолько простое, принятое в повседневной жизни и перенесенное в математику, что оно не определяется, но может быть пояснено с помощью примеров: множество городов, множество государств, множество учащихся. Предметы, объекты, образующие данное множество, называются его элементами . В математике рассматривают только те множества, которые обладают четко определенными свойствами, состоят из элементов, имеющих некоторые общие свойства.
Есть несколько способов обозначения множеств. Можно переписать все элементы множества в фигурные скобки .
При этом мы наглядно видим, из каких элементов состоит множество. Но эта запись неудобна при описании множеств с большим числом элементов или множеств, число элементов которых невозможно перечислить полностью, то есть – бесконечных множеств. Например, невозможно записать все элементы множества чисел, которые делятся на 10. В этом случае множество записывается так:
.
Для удобства работы с множествами, их обозначают заглавной буквой.
Если во множестве нет ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и обозначается? . Например, множество крылатых китов, есть пустое множество.
Сами множества так же могут быть элементами множества
Пусть задано множество . Элемент 3 принадлежит множеству В , это обозначается так . Элемент 8 не принадлежит множеству В , это обозначается .
Упражнения
II. Равенство множеств.
Очень важной особенностью множества является то, что в нем нет одинаковых элементов, вернее, что все они отличны друг от друга. Это значит, можно записать сколь угодно одинаковых элементов, но выступать они будут как один. То есть множество не может содержать одни и те же элементы в нескольких вариантах. Предположим мы записали множество . В этом множестве элемент 7 повторяется несколько раз, но мы его будем рассматривать как один. Поэтому наше множество будет .
Рассмотрим два множества и . Эти множества состоят из одних и тех же элементов, хотя они и записаны в разном порядке. Такие множества называются равными. Итак, два множества равны , если содержат одни и те же элементы.
Упражнения
III. Подмножество.
Рассмотрим множество дней в неделе. Запишем его .
Теперь отберем только рабочие дни. Они составляют множество .
Посмотрим, в каком соотношении находится множество R , учитывая его элементы, по отношению к множеству S . Можно заметить, что все элементы множества R входят в множество S . Значит, множество R является частью множества S или подмножеством . Следовательно, если каждый элемент какого-то множества R является в то же время элементом множества S , то можно сказать, что R – подмножество множества S . Обозначается это так . Само множество S так же является своим подмножеством. Очень важно отметить, что пустое множество является подмножеством каждого множества. Значит, если нам нужно выписать все подмножества множества , то мы запишем: .
Упражнения
1. Даны множества:
- множество А учеников 5 класса нашей школы;
- множество В всех учеников нашей школы;
- множество С учеников 5 класса нашей школы, посещающих бассейн;
- множество Е всех учащихся школ города Новокузнецка;
- множество К учеников 5 математического класса нашей школы.
Верно ли что:
- множество А есть подмножество множества В ;
- множество А есть подмножество множества К ;
- множество В есть подмножество множества Е ;
- множество К есть подмножество множества С ;
Запишите с помощью знака I названия множеств в таком порядке, чтобы каждое следующее множество было подмножеством предыдущего множества.
2. Для множества 
выпишите все его подмножества.
IV. Пересечение множеств.
Рассмотрим два множества 
и 
. Составим новое множество С
, в
которое запишем общие элементы множеств А
и В
.
Общими у них являются элементы 5 и 6, значит . Множество С
называется пересечением
множеств А
и В
.
Обозначается так:
Пересечением множеств А и В называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству А, и множеству В.
Пусть Р – множество учащихся математических классов нашей школы, К – множество учащихся пятых классов, тогда (пересечением множеств Р и К ) будет множество учащихся пятого математического класса.
У множеств и нет ни одного общего элемента, следовательно, их пересечение есть пустое множество О
Упражнения
1. Даны множества . Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .
2. Найдите , если а) ; б)
V. Объединение множеств.
Возьмем те же два множества и . Составим теперь множество Е
следующим образом – запишем в него элементы,
которые принадлежат хотя бы одному из множеств А
и В
. Получим множество . Множество Е
называют
объединением множеств А
и В
. Обозначается
Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
Упражнения
1. Даны множества . Найдите: а ) ; б ) ; в ) ; г ) .
2. Найдите если и .
3. Даны множества .
Найдите: а
) ; б
) ; в
) ;
г
) 
.
VI. Разность множеств.
Возьмем уже знакомые множества и . Составим новое множество Ф
в которое запишем элементы множества А
, не
входящие во множество В
. . Множество Ф
называется
разностью множеств А
и В
. Обозначается А
\ В
= Ф.
Разностью двух множеств А и В называют такое множество, в которое входят все элементы из множества А, не принадлежащие множеству В.
Важно заметить, что при вычитании множеств нельзя менять их местами. При нахождении разности В \ А в новое множество мы запишем элементы множества В , которые не принадлежат множеству А. Значит В \ А =.
Упражнения
Даны множества . Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .
Найдите и если и .
Даны множества .
Найдите: а) ; б)
; в) ;
г)
VII. Круги Эйлера.
Один из величайших математиков петербургской академии Леонард Эйлер (1707–1783) за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ. В одной из них появились круги, которые “очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления”. Эти круги и назвали кругами Эйлера . С помощью этих кругов удобно геометрически иллюстрировать операции над множествами. На рисунках представлены иллюстрации действий над множествами. Можно рисовать не только круги, но и овалы, прямоугольники и другие геометрические фигуры. ребят. Внутри “математического” круга М находятся 20 ребят, значит, в той части “биологического” круга, которая расположена вне круга М , находятся биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их человек, находятся в общей части кругов МБ . Таким образом, 6 биологов увлекаются математикой.
Ответ. 6 биологов увлекаются математикой.
Упражнения
- В классе 29 учащихся. Каждый из них изучает хотя бы один язык – английский или немецкий. Английский язык изучают 18 человек, немецкий язык изучают 15 человек. Сколько человек изучают два языка и немецкий, и английский?
- В классе 29 учащихся. Из них 16 занимаются музыкой, 21 посещают математический кружок; 4 не занимаются музыкой и не посещают математический кружок. Сколько учащихся посещают только математический кружок? Сколько математиков занимаются и музыкой?
- В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
- В классе 38 человек. Из них 16 человек играют в баскетбол, 17 человек – в хоккей, 18 человек – в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта – баскетболом и хоккеем 4 человека, баскетболом и волейболом 3 человека, волейболом и хоккеем 5 человек. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни волейболом, ни хоккеем. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?
Вопросы к тематическому зачету по теме
“Элементы теории множеств”
Необходимые умения: показывать пересечение, объединение, разность множеств на кругах Эйлера; находить пересечение, объединение, разность множеств, решать комбинированные примеры; решать простейшие задачи с помощью кругов Эйлера.
В этой презентации «Множество. Элемент множества» школьники 7-го класса смогут подробно рассмотреть значение одноименных понятий в математике. После титульного листа с названием темы на 2-ом слайде приведены примеры множеств. На самом деле их может быть огромное количество, но не это главное. Данные примеры дают учащимся понять, что множество - это, в первую очередь группа схожих объектов, объединенная в одно целое, а, соответственно, и название она несет сплоченное.
слайды 1-2 (Тема презентации "Множество. Элемент множества", пример)
На третьем слайде объясняется, что множество может применяться четными, натуральными, а также дробными числами. Для каждой ситуации приведен конкретный пример. В этом же разделе с помощью иллюстрации пятиугольника разъясняется, что собой представляет элемент множества. Это наглядное изложение материала позволяет школьникам легче представить абстрактные понятия предмета.
Далее отдельный слайд посвящен множеству простых чисел. Для лучшего понимания данного материала приведено несколько примеров, в которых простые числа являются заключенными в заданном множестве. Это необходимо для того, чтобы ученик усвоил, что во множестве могут быть заключены как одно или более простых чисел, так и вовсе может и не быть ни одного простого числа в нем. В итоге разговор сводится к тому, что в математике есть еще одно понятие под названием «пустое» множество.
слайды 3-4 (примеры. определение делителя)
На следующем слайде кратко показано с помощью иллюстраций правильное обозначение множества. Оно может быть записано как в буквенной, так и в числовой форме в зависимости от заданных элементов множества.
Далее в учебной презентации следует информация о дальнейших видах множества. Оно может также применяться с целыми, натуральными и рациональными числами. В приведенных к данному слайду примерах можно легко понять, каким образом стоит считать элементы принадлежащими ко множеству или, наоборот, не принадлежащими.
слайды 5-6 (примеры)
Далее речь пойдет о свойствах множества. В процессе подачи этого материала школьникам будет доступно объяснено, в чем состоит суть такого понятия, как «характеристическое свойство множества». Для того, чтобы у школьников была возможность более точно запомнить определение этого математического явления, расшифровка его значения будет дана на слайде презентации.
После этого дается пример о кратком написании множества заданных чисел. В данном примере даны все 14 целых чисел. Кроме того, ученику объясняется, как можно описать в краткой форме то, что множество может быть больше или же меньше выходящего за его границы натурального числа.
слайды 7-8 (определение характеристических свойств, примеры, вопросы)
Поняв вышеуказанный материал, дальше школьники учатся записывать множество вместе с заданными переменными. На следующем слайде приведен уже совершенно иной пример. Он касается множества кратных чисел. В примере присутствуют 5 чисел, кратные 5-ти. А ниже них указано выражение с переменными, соответствующее этому множеству.
слайды 9-10 (определение характеристических свойств, примеры, вопросы)
Затем последний слайд презентации позволяет учащимся решить более сложную задачу . Сначала дано выражение с переменными множества С , а ниже под ним числовое выражение множества D . Суть этого задания в том , что нужно найти числовое выражение множества С с учетом того , что оба множества между собой равны , то есть обладают одними и теми же элементами множества .
После того , как учащиеся справятся с поставленной задачей , презентация урока «Множество . Элемент множества » будет завершена , и ученики смогут начать задавать вопросы по пройденному материалу . Такой вид урока станет довольно эффективным инструментом ¸ используемом в учебных программах по предмету «Математика » за счет своей простоты и наглядности .
